Propuesta de Medicion Fractal. (Proposal of Fractal Measurement) Proceedings in 5o Conferencia Internacional de Matemática y Diseño. Blumenau, Brasil, Julio 1-4- 2007. ISBN 978-85-7114-175-4
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Keywords:
Morfología urbana
Fractalidad
Image J
Cuadrícula urbana
Ploteos de superficie
La aplicación de la geometría fractal en modelización
espacial responde a un método para
analizar formas, que permite la comparación entre modelos espaciales y estructuras empíricas.
En este tema, la elaboración de un sistema de
medición no es sencilla, y supone entender las características de la forma
urbana en relación a una problemática contextual.
Teóricamente, las formas que tienen la misma rugosidad,
debieran tener un comportamiento similar. Pero no siempre es así.
Si visualizamos la forma, podemos comprender el
sistema. Es por ello que proponemos contraponer dos morfologías urbanas básicas
distintas, la cuadrícula urbana y la
ciudad-materia de raíces primitivas.
1. INTRODUCCION
Durante la segunda mitad del siglo XX, ha crecido el
interés en el estudio de los sistemas como un todo, en oposición al
reduccionismo que estudiaba las partes constituyentes. La cibernética se
concentra en estudios holísticos de los procesos de diseño dibujando analogías,
en dos direcciones, entre organismos y máquinas.
Es de nuestro interés desarrollar un modelo
conceptual, que no es más que una simplificación de una realidad compleja, para
lograr un mayor entendimiento de la estructura de la ciudad o asentamiento,
tomados como sistemas dinámicos. El método estará basado en el razonamiento intuitivo, global, en la
experiencia, y resultará en la abstracción de los caracteres relevantes
de una gran cantidad de información.
Los fractales representan los sistemas
dinámicos, la geometría de la naturaleza, las infinitas retro-alimentaciones,
en síntesis, lo que no puede ser medido en términos Euclidianos.
Aún
no se ha definido un fractal, sino se enumeran sus propiedades características:
·
Un
fractal tiene una estructura fina; esto es detalle en escalas arbitrariamente
pequeñas.
·
Un
fractal es demasiado irregular para ser descripto con la geometría euclidiana
tradicional, tanto local como globalmente.
·
Con
frecuencia un fractal tiene una cierta forma de auto-semejanza, quizás
aproximada o estadística
·
En
general, la “dimensión fractal” es mayor que su dimensión topológica
·
Se
pueden generar fractales geométricos en forma muy simple, por lo general
recursiva.
Para continuar el concepto, es necesario comprender el significado de dimensión topológica. La relación entre topología y sistemas dinámicos ayudan a visualizar el rango de comportamientos de un sistema dinámico.
La geometría fractal cuantifica la rugosidad de los objetos mediante un índice llamado “dimensión fractal”. Normalmente consideramos que los puntos tienen dimensión 0, las líneas 1, las superficies 2 y los volúmenes 3. Es lo que llamamos “dimensión topológica”.
Sin embargo, una curva rugosa, que recorre una superficie puede ser tan rugosa que casi llene la superficie en la que se encuentra.
Hay varios métodos para el cálculo de la dimensión fractal; si el fractal es muy complejo, se utilizan computadoras. Un dibujo, un esquema, un plano, una fotografía pueden ser útiles.
Comparativamente, si un fractal se mide en un número de iteraciones, para
una estructura empírica, tomaremos progresivas variaciones de medida (con la
aplicación de un factor de escala). Un fractal determinista, en cualquier
escala de observación, dará el mismo valor de Dimensión Fractal (D), o sea, es
perfectamente autosimilar. Pero, una morfología urbana no es un fractal
determinista; con lo que la comprobación de autosimilitud no registrará valores
de D idénticos, pero podemos inferir, al encontrar valores similares, que “la
forma muestra propiedades análogas a la autosimilitud fractal”.
El método de medición de D más conocido es el de conteo de cajas (box counting): se basa
en la propiedad fractal de auto-semejanza. Se aplica a cualquier figura en dos
dimensiones, y es posible adaptarlo a tres dimensiones. Consiste en cubrir la
imagen con cajas de dimensión s y se seleccionan aquellas celdas que están
ocupadas, hasta completar la imagen. Luego, se va cambiando s progresivamente
por otras cajas más pequeñas, siguiendo una proporción (factor de escala) y
nuevamente se seleccionan las cajas ocupadas. En cada paso se aplica la fórmula
de D (Hausdorff-Besicovitch) y si se desea se traza un gráfico de
comportamiento escalar (plot of scaling behaviour) donde representamos: Eje de
Y, el log de las celdas ocupadas en su totalidad (dividendo de la fórmula D);
en el eje X, el log de las celdas correspondientes al factor de scaling
(divisor de la fórmula D). El cociente entre valores representa la pendiente de
la línea resultante y contiene el valor de D.
2. OBJETIVOS
Teóricamente,
las formas que tienen la misma rugosidad, debieran tener un comportamiento
similar; no siempre es asi. Si visualizamos y analizamos la forma final que
encubre una estructura (pattern) podemos comprender el sistema.
Las
mediciones resultantes, por sí mismas no son significativas. Veremos que a
valores de D muy similares, los modelos estructurantes de la morfología urbana
son distintos –opuestos-, y responden a contextos geográficos, sociales,
históricos diferentes y atemporales. Incluso la vegetación y los materiales
difieren absolutamente, los ejemplos contienen chapas corrugadas, ladrillos,
arcillas, piedras, etc.
el
tratamiento adecuado de las imágenes;
la
forma de medición;
el
uso de herramientas accesorias para “cerrar” y clarificar conceptos.
3.
METODOLOGIA
La
metodología propuesta consiste en interpretar estas estructuras empíricas
(ciudades, barrios, asentamientos, fachadas, etc) como fractales aleatorios o
estocásticos. La geometría no es medición en sí misma, pero es interactiva
entre la modelización y la medición.
Antes
de realizar la medición, se ha procedido a un análisis intensivo de la fuente
con la que hemos de trabajar.
Luego de decidir sobre el recorte de la escala y la imagen, nuestro
siguiente paso fue descubrir la constitución del sistema: aglomerado,
conglomerado, agregado....según puedan o no separarse las partes.
Por ejemplo, si analizamos una
fotografía aérea, y según los reflejos del sol y las sombras, nos resultaría
muy difícil poder separar las construcciones de las calles y la vegetación, con
lo cual los resultados de mediciones fractales -o cualquier otra aplicación-
tendrían un margen de error mayor según
los filtros aplicados.
Si se requiere un análisis muy
detallado, como en el caso de un análisis comparativo de morfologías de
estructuras muy similares, es recomendable la inserción de la fotografia en
AutoCad y luego, se podra dibujar los contornos de las construcciones y luego
llenarlos. En este caso obviaríamos la vegetación y cualquier elemento que no
pertenezca a las construcciones. Las estructuras temporarias se dejarian o no,
según el sesgo del análisis.
Damos por sobreentendido que la
imagen necesitará ser filtrada, con uno o más filtros que se seleccionarán,
según se desee mayor nitidez, énfasis de los bordes, contraste, ruido para
énfasis de partículas pequeñas, etc.
En el caso de escalas muy
pequeñas que no permitan la visualización deseada, los indicadores ayudarán a
completar la información.
Un análisis extensivo de datos,
como la diferenciación de árboles, agua, viviendas, etc., conlleva a fijar un
criterio sobre qué elementos serán separados o no de la medición. Nuestra
postura incorpora la percepción fractal: no nos basamos en dibujos lineares o
abstracciones. Partimos de fotografias que contienen toda la información que
percibiria el ojo humano. Por lo tanto, los recortes de elementos adyacentes u
ornamentales son menores.
4. COMPARACIÓN
DE LAS FORMAS
El
primer ejemplo, será un sector de la Ciudad de La Boca, en Buenos Aires.
En la clasificación planteada al
principio, estamos ante la cuadricula surgida de la aplicación de Las Leyes de
Indias.
Diversos ejemplos de formas complejas de asentamientos primitivos se
encuentran fundamentalmente en Africa. El dr. Ron Eglash ha demostrado que
estas formas son fractales
análogos por excelencia. Veremos Lebezzanga y nuestra experimentación ante una
forma totalmente opuesta a la cuadricula.
Un tercer
ejemplo es Pueblo Bonito, en U.S.A., habitado antiguamente por la tribu de los
Anasazi. En este caso, la forma esta emparentada con espirales metafísicas
grabadas en petroglifos.
La medición consiste en dar
valores a los fenómenos que nos interesan, dentro de un marco establecido.
Sirve a los fines de la caracterización de los atributos de un objeto y formas
espaciales –adquisición de datos-, a la descripción de sus relaciones, a
calificar semejanzas, etc.
En nuestro ejercicio, D será
medida con el software ImageJ.
El paso que precede a la
selección de la imagen, es la transformación de la misma en imagen binaria, y
luego se mide D, tomando varias medidas en las celdas. El software nos ha
arrojado un valor entre 1 y 2, que, resulta muy similar en las tres morfologías
elegidas. Pero si bien es índice general de una cierta densidad, nada refleja
de la conformación urbana de cada una de ellas, ni que zonas son más o menos densas.
La aplicación de histogramas de
densidad y cortes de densidad, ayudarán a la comprensión de la imagen o
detalles de la misma, y están emparentados con la escala de grises (léase
oscuros para viviendas, claros para las calles o tierra).
El histograma es un gráfico de
coordenadas que muestra el número de pixels en una imagen en cada diferente
intensidad de valor de la misma. Para una imagen de 8-bit en escala de grises
hay 256 posibles intensidades, por lo tanto el histograma mostrará gráficamente
256 números y la distribución de los pixels en la escala de grises. Los
histogramas también pueden hacerse con imágenes en color.
Para lograrlo, la imagen es
escaneada en un solo pase y automáticamente se cuentan los pixels con su valor
correspondiente.
Los cortes de densidad
(thresholding), son útiles a los fines de separar las regiones de objetos en
los que estamos interesados, y establecer un fondo y figura. Esta herramienta
ejecuta una segmentación de la imagen en base a diferentes intensidades de
colores y está relacionada con el histograma.
La segmentación más simple
corresponde a la imagen binaria. Los pixels negros se toman como fondo y los
blancos como figura, o viceversa.
No todas las imágenes pueden ser
segmentadas fácilmente como fondo y figura usando thresholding. Si una imagen
será adecuada o no a la hora de la segmentación se desprende del histograma.
El ploteo superficial, lleva las
herramientas anteriores a la tercera dimensión, facilitando la comprensión de
la complejidad y densidad urbana, según lo que leemos en la foto en 2 D.(1)
Estamos aquí ante una imagen de
ciudad consolidada al Sur de Buenos Aires, con calles ortogonales y edificios
de dos pisos en promedio. Además del grupo de manzanas que mostramos, hemos trabajado con grupos de 9
(D=1.8407) , 6 (D=1.8246) y 4 manzanas (D=1.8137). Los valores de D, en
distintas escalas, dan valores muy similares, lo que implicaría una cierta
autosimilitud.
El ploteo superficial ilustra las
alineaciones, mientras que la rugosidad de los picos, denota la rugosidad en la
fábrica urbana, como consecuencia de las condiciones muy elevadas de
hacinamiento de la masa migratoria que produjo una rápida suburbanizacion de
grupos de bajos recursos que utilizaban fragmentos de materiales para construir
sus viviendas. Tengamos presente que la foto incluye –aunque de una perspectiva
lejana- cables, carteles, cañerías a la vista, árboles, etc., que no se han
borrado por ser parte específica de la ciudad.
Esta fotografia de Lebezzanga fue
tratada con filtros de fondo blanco para el terreno, remarcado de los bordes,
transformación binaria. (2)
No todas las arquitecturas circulares en Africa tienen locación
centralizada. El ejemplo muestra la villa Songhai en Labbezanga, en Mali. Su
pattern consiste en “rulos” de casas circulares sin un foco que pueden separarse del sistema.
Lo que no implica falta de autosimilitud, ya que la geometría se basa en
simetrías en varias escalas. Eglash menciona que las viviendas rectangulares
corresponden a influencias islámicas y que probablemente la estructura original
era completamente circular. (Eglash, 2002)
Nótese esta peculiaridad en los
ploteos de superficie. En algunos sectores, los pixeles aparecen alineados, en
alusión a los rectángulos de base. Si los picos se juntan, asimilaremos a
aglomerados para morfologías compactas, de lo contrario, asimilaremos a
agregados. (3)
Las investigaciones en El
Solstice Project, (4) revelaron que las grandes
construcciones del Chaco (Nuevo México, USA) están organizadas en base a
complejas reglas regionales con implicaciones religiosas y astronómicas,
relacionadas con el sol y la luna.
Pueblo
Bonito muestra una relación morfológica con un petroglifo de espiral (aprox.
24cmx36cm) en Fajada Butte. El proyecto demuestra el sofisticado conocimiento
astronómico, geométrico de estas culturas y una gran capacidad de pensamiento
abstracto: en la iconografía prehistórica, la espiral simboliza la serpiente
universal, que a su vez constituye la encarnación del dinamismo, la fuerza
vital y los poderes regeneradores de la naturaleza.
La
morfología general de Pueblo Bonito muestra un semicírculo cruzado por una
pared orientada de N a S., con un elemento dominante que es la kiva de mayor
tamaño del asentamiento. El petroglifo parece mapear Pueblo Bonito.
Más
allá de esta relación con la espiral (círculo evolutivo en la geometría
fractal), la disposición interna de Pueblo Bonito consiste en recursiones de
rectángulos (plantas de edificios prismáticos de hasta cuatro pisos) y
repeticiones de círculos (plantas de kivas ceremoniales) que forman un patrón
fractal; la repetición implica una imagen abstracta de la generalidad, en este
caso, morfológica.
Se discute si Pueblo Bonito tiene características
fractales. Según Ron Eglash, no es así, porque se trata de una sucesión de
círculos. Pero, considerando que la zona central repite un petroglifo de
espiral, y, que la imagen filtrada presenta una complejidad no euclidiana,
podemos analizar la forma como un fractal análogo al modelo “balsa de burbujas”,
según la ocupación de suelo. La imagen –a diferencia del caso de La Boca y
Lebazzanga- no contiene las construcciones en elevación. Sólo se están
mostrando los estratos cercanos a las fundaciones, con lo que la imagen se torna compleja y confunde las construcciones
rectangulares con las circulares. En consecuencia, el ploteo de superficies es sumamente rugoso, y muestra un
conjunto de picos sin destacar las construcciones rectangulares, que debieran
verse en oposición a los círculos. El ejercicio, si bien no registra errores en
la utilización del software, confundiría al ojo inexperto ya que expresa una
situación diferente a la del modelo
estructurante original. Advertimos aquí, la importancia de los filtros, que no
deben disfrazar el pattern, sino
clarificarlo lo más posible. El ploteo de superficies ayudó entonces a
descubrir que los filtros no han sido apropiados.
5. CONSIDERACIONES FINALES
Con
respecto a “D”, la evaluación cuantitativa de bordes es un problema complejo
que no sólo involucra la magnitud de dimensión fractal usada para describir el
sistema, sino también es un parámetro de descripción del pattern.
Es
necesario también comprender lo que significa “número no dimensional”, que
surge de comparaciones: la afirmación “un área es tres veces más grande que
otra” proviene de dos áreas comparables. Al realizar los gráficos de datos
generados en exploraciones fractales, es muy importante convertir los
perímetros y longitudes parciales en formatos no dimensionales, para que D nos
lleve a conclusiones acerca de: (5)
.-
Grados de concentración de masa a través de escalas jerárquicas. Un
extremo es D= 0, donde la concentración se fija en un solo punto. El otro
extremo es D=2 con la ocupación uniforme total de la superficie. Si D es alto,
la jerarquía de escalas es baja, y si D es bajo, la jerarquía de escala es
mayor.
.-
Redes: grados de accesibilidad, ramificaciones. Si D es alta, la
cobertura del espacio por redes será muy alta, y la jerarquización por escalas
muy baja. Por el contrario, si D es baja, las redes serán más abiertas y las
jerarquizaciones de escala más altas.
.-
Borde: Si D>1 el borde será muy tortuoso
Proponemos entonces, no sólo la medición exhaustiva
de las formas, sino la comprensión de las mismas y por lo tanto del grupo social
que las ha generado. Los trabajos de diseño urbano se basarán en estas
investigaciones y los resultados serán los adecuados para la sociedad a la que
se destina.
Si tenemos en cuenta a la arquitectura como un
meta-lenguaje universal, como construcción de un continuum antropológico,
concluiremos que las consideraciones sobre asentamientos y ciudades abarcan
mucho más que números y juicios estéticos.
“lo que el hombre construye en un sentido amplio, no
está primariamente relacionado con la estética, sino con el hombre”,
“Objetivamente y universalmente, la arquitectura significaría todo lo que ha
sido construido por el hombre y posiblemente por sus antecesores”. (Egenter,
1992)
NOTAS
(1) Entiéndase
que no es lo mismo que la elevación en 3D de la morfología urbana. Una torre,
según le afecte el sol, podría leerse con los mismos valores de ploteo
superficial que una vivienda de un piso que muestra la misma luminosidad en la
foto.
(2) Se considera
un cierto margen de error, si la imagen no es tratada con absoluto detalle. Por
ejemplo, los techos rectangulares están afectados por la luz solar, pero se
compensa con la sombra lateral. A los fines del ejercicio, no consideramos
necesario borrar sombras y llenar luces, si se complementan.
(3) Esta
peculiaridad no puede ser evaluada directamente por el software. Sólo el ser
humano puede ver simultáneamente un aglomerado/agregado fractal de figuras
euclideanas, es decir, el aglomerado
rugoso y las subunidades al mismo tiempo.
(4) El Solstice
Project, fue organizado en 1978 para estudiar,
documentar y preservar el “Sun Dagger”, un calendario celestial de los antiguos
indios Pueblo, cultura que se desarrolló en el Cañón del Chaco (Nuevo México,
USA) entre los años 400 al 1300 D.C.
(5) Se sugiere
ver los textos de Frankhauser (2004) para completar los conceptos matemáticos.
Si bien Frankhauser no relaciona la sociedad con la forma, sus análisis de
herramientas con el software Fractalyse son profundos. En nuestra opinión,
Image J es más sofisticado y completo, especialmente en el estudio de
partículas.
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