El texto a continuación lo he escrito como borrador (draft) para ser adaptado a la ponencia en las Jornadas de investigación de la FAU (Facultad de Arquitectura y Urbanismo de La Plata) en 2006.
La presentación se terminó de escribir con los coautores Ing. Rosa Enrich y los Arqs. Andrea Carnicero y Gustavo Fornari, quienes expusieron sobre ¨Acerca de la enseñanza de la Geometría Fractal en Arquitectura¨
El programa de las Jornadas se encuentra en el siguiente link:
El texto final se puede leer en el siguiente link y será posteado -además- por separado:
LA MATEMÁTICA EN LA HISTORIA DE LA
PROYECTUALIDAD
El antecedente histórico del proyecto
es la composición, comenzando con los griegos y romanos, siguiendo en el
Renacimiento y hasta principios de la modernidad en el Siglo XX. La composición
se regía por tratados y manuales que dictaban las normas de organización
estéticas y constructivas de la arquitectura. Una organización a modo de unión
de partes interdependientes, que tomaba al hombre ideal como base de sus
proporciones, sin tener en cuenta los aspectos emocionales, sociales.
Obsoleto este sistema compositivo, el
proyecto surge como mediador entre la sociedad y la obra construída.
En los últimos años se ha demostrado que la
arquitectura de diferentes estilos, de diversas regiones y períodos, obedecen a
reglas que son intrínsicamente matemáticas, y, cualquiera sea su forma,
contienen cualidades e información sobre dichas reglas, las que definimos como
modelo o pattern. Los modelos más simples, son repeticiones de unidades
ordenadas según una traslación linear, o simetría rotacional. Pero, también en
dimensiones escalares donde la forma se da en sucesivas magnificaciones de
unidades formales: autosimilitud. En términos geométricos, se ha creado un
fractal autosimilar.
El concepto de pattern se extiende al espacio, cuando
se da soluciones a problemas, que se repiten con alguna variación cada vez que
el problema se resuelve. No es nuestra intención aquí una discusión sobre
estilos, sino de percepciones de un cierto orden de estructuras lógicas que la
mente percibe a través de conexiones e interrelaciones entre conceptos e ideas.
Los patterns se han dado en la arquitectura histórica
y exponen la creatividad innata que los seres humanos tienen en la aplicación de
la matemática. A tal punto que en muchos períodos del pasado, matemática y
arquitectura eran indistinguibles; ambas se reforzaban y complementaban. Como
en las pirámides, los templos , los ziggurats. ...
Y he aquí más ejemplos de la historia:
Los templos de India y el
Sudeste asiático exhiben una estructura fractal: una torre rodeada de pequeñas
torres, rodeadas a su vez por torres más pequeñas, y así, por ocho o más
niveles que rondan la metafísica; (1)
La intrincada decoración
gótica, renacentista y barroca, especialmente expresada en las catedrales,
frecuentemente exhiben escalados en muchos niveles (como las ventanas de arcos)
que probablemente representen jerarquías teológicas;
El historiador de arte
George Hersey, de la Universidad de Yale, también señala que si bien el plano
de Bramante de 1506 para la nueva basílica de San Pedro muestra una cruz griega
con posiciones simétricas de cúpulas secundarias, los brazos de “cruces”
pequeñas en las esquinas interiores consisten en miniaturas de la original,
hasta llegar a una analogía de fractal;
La torre Eiffel incorpora la
idea de una curva fractal;
El Dr. Ron Eglash ha
demostrado que asentamientos
tradicionales africanos, tienen una
estructura fractal (estructura de árbol, cerramientos rectangulares recursivos,
círculos formados por círculos de viviendas, etc.). Estudios posteriores
verificaron que esta arquitectura fractal resultaba de diseños intencionales, y
que estas características podían ser encontradas en otras áreas culturales
africanas (arte, religión, ingeniería, juegos), algunas como motivos
matemáticos como sucesiones y otras como sistemas simbólicos como espirales y
referencias al infinito;
Recientemente,
se han calculado dimensiones fractales para obras de Frank Lloyd Wright usando
el método de grillas rectangulares y se concluyó que algunos de sus edificios
muestran autosimilitud en un gran rango de escalas, lo que sugiere que cumplen
con características fractales;
Y ya en los últimos años, los arquitectos que se oponen a la
arquitectura minimalista (International Style) han introducido curvaturas y
subdivisiones en sus proyectos de formas caóticas que intentan incluir más
información matemática, pero, más bien determinan una forma de fractal estocástico que no se originó en la
repetición de un pattern sino de procesos aleatorios. (2)
ANTECEDENTES EN LA ENSEÑANZA DE GEOMETRÍA FRACTAL
En
1982, y gracias al brillante aporte de Benoit Mandelbrot, los cursos sobre
geometría fractal comenzaron a darse en los EEUU en asignaturas como matemática
y ciencia (especialmente informática) y en niveles de college. La reacción de
los alumnos fue altamente positiva, y pronto más cursos surgieron en aquellas
disciplinas relacionadas con dinámicas caóticas, como humanidades y ciencias
sociales, hasta llegar a la high school
(escuela secundaria). (3)
La
popularidad de los cursos fue acreditada a la “extraña” belleza de los
fractales que se visualizaban en las computadoras y al hecho que no entraban en
el formato standard de las clases de matemática.
Para
mediados de los ’80, los fractales logrados producían exclamaciones de
sorpresa; ahora son parte de la cultura popular y de la alta cultura de los
claustros universitarios. Similarmente, en la metodología aplicada, el uso de
la computadora se restringía a los cursos de geometría fractal, y en la
actualidad cualquier asignatura considera el uso de las computadoras.
Nuestro
currículum actual se basa en el cálculo y sus pre-requisitos: trigonometría,
álgebra y geometría. No se ha incluido aún asignaturas sobre caos y geometría
fractal, que serán de gran interés en los estudiantes.
Nuestra propuesta surge de la
reflexión, de la búsqueda de un modelo de enseñanza actual creativo, basado en
la investigación para una nueva agenda.
No cabe duda que la disciplina comprende
diversos niveles de abstracción en pos del trabajo proyectual, para la
resolución de problemas urbanos y arquitectónicos.
Podemos fragmentar estos niveles en
Teoría (Theoria), Práctica (Praxis) y Producción (Poiesis). (4)
La teoría es el mayor grado de
abstracción, con connotaciones empíricas donde la experiencia es una
adquisición insustituíble. La dimensión teórica enmarca la concepción y el
sentido del objeto arquitectónico; la práctica permite su desarrollo y la
producción su construcción.
Los problemas de proyectualidad, no pueden entonces
resolverse solamente mediante el análisis lógico; la implementación de la
geometría fractal en las asignaturas de
Diseño y Matemática, ayudarán a mejorar la creatividad del diseñador, y no
consideramos únicamente la posibilidad de lograr una multiplicidad de formas,
sino también la comprensión y desarrollo de estructuras orgánicas complejas que
luego se verían reflejadas en asignaturas humanísticas como Historia y técnicas
como Estructuras, Sistemas constructivos, e Instalaciones.
LA ASISTENCIA
DEL PENSAMIENTO LATERAL
Considerando que no todos los alumnos proyectan desde la
inducción, la inclusión de la geometría fractal en Diseño será complementada
por la teoría del pensamiento lateral, que propone un camino distinto en la
búsqueda de la creatividad y suele ser implementada en ejercicios, esquicios.
Los puntos principales del pensamiento lateral son:
1.- Nuestro cerebro, que es un sistema que se
auto-organiza, no está preparado para la creatividad, sino que fija esquemas de
rutinas y se atiene a ellas.
2.- Si aparecen elementos nuevos –formas nuevas en
nuestra disciplina-, la mente intentará relacionarse con ellos siguiendo las
pautas –patterns- del esquema establecido.
3.- El objetivo del esquema es encontrar datos similares
a los cuales asimilar la nueva información.
4.- Existen mecanismos alternativos que llevan a la
creatividad del pensamiento y producen
rupturas en los esquemas pre-establecidos. Son los caminos “laterales”, es
decir novedosos.
APLICACIÓN EN DISTINTAS TEMÁTICAS DE LA ARQUITECTURA
Y no por hacer énfasis en Diseño, hemos de olvidar que no
todos los alumnos tienen el mismo perfil y además lo van moldeando a medida que
avanza la carrera. El arquitecto y psicólogo social Alvaro San Sebastián distingue
cinco perfiles dentro de la carrera arquitectura:
1.- El especialista en proyecto. Es la condición innata
de nuestra profesión. Es el eje central de la formación.
2.- El proyectista de lo constructivo, aquél que domina
la tecnología y diseña todas las alternativas para el proceso de
materialización de una obra.
3.- El alumno o profesional relacionado con el mundo de
la informática, un campo altamente demandado por los alumnos.
4.- El empresario, el gestor de negocios, aquél que será
capaz de generar nuevas formas de llevar adelante un proceso productivo.
5.- El intelectual, el teórico, el crítico, que
desarrolla tareas de investigación y desde dentro de la disciplina aporta al
crecimiento de los conocimientos.
Nuestra propuesta de enriquecimiento posee un enfoque
post-modernista, que destaca la
apicabilidad de la geometría fractal en todas las disciplinas, por lo tanto,
cualquiera sea la inclinación temática de nuestros estudiantes, siempre
contarán con esta valiosa herramienta.
IMPLEMENTACION
Proponemos la implementación de la enseñanza de fractalidad en grados
avanzados de la carrera, a fines de que el alumno incluya sus conocimientos
adquiridos en materias técnicas y se eviten proyectos meramente formales.
Teniendo en cuenta que las cátedras de Diseño arquitectónico tienen distintas
posturas ideológicas – y por lo tanto formales- se cree conveniente la creación
de una materia electiva que obviamente será tomada por aquellos alumnos que
sientan la inquietud de explorar nuevos horizontes proyectuales.
Los
items a continuación, expresan nuestras intenciones de acercamiento entre la
técnica proyectual y el alumno.
·
MOTIVACION: promover el interés del alumno por lo que se
está haciendo,desde distintos planos. Ver la posibilidad de abordar las clases
en layers, alguno de ellos expandible.
Las clases de diseño, resultan interesantes cuando se
estructuran en una secuencia progresiva, no lineal, por procesos de
descentración múltiple.
·
EJERCITACION: sugerimos
la exploración de rutas alternativas, -incluso con la posibilidad de llevar
adelante un proyecto que nació insólito-, utilizando combinaciones
interdisciplinares, por ejemplo: matemática y diseño, música-pintura-diseño. El
docente utilizará el lenguaje adecuado para lograr la comprensión del tema a
desarrollar en clase, ya sea mediante metáforas, presentando casos,
modelaciones espaciales, etc.(4) De este modo el estudiante obtiene una ruta
secundaria para la resolución de un problema. En este punto, cabe aclarar que
el docente verificará que el estudiante realice la traducción correspondiente
del modelo a la disciplina.
En general, la ejercitación
del diseño se basa en estos procesos de abstracción que consisten en
representar los aspectos comunes entre dos o más objetos o eventos, por
símbolos, letras, diagramas, construcciones geométricas, etc.
Luego de
seleccionar el tipo de representación, esta simbología puede combinarse y
recombinarse de varias maneras, siguiendo reglas determinadas. La resultante, a
veces es una idea pre-establecida, otras, el producto de manipulaciones de
prueba y error.
·
APLICACIÓN DE TECNOLOGIAS: se destaca la importancia
del uso de la tecnología como apoyo y enriquecimiento de la asignatura, para la
comunicación, la información, la producción y la modelización.
Es importante que el docente acompañe en el uso de la
tecnología, y si logra una atención voluntaria y consciente del alumno, se da
un efecto de residuo cognitivo que enriquece el aprendizaje.
Los softwares propuestos son los que usan habitualmente los
estudiantes y arquitectos en su práctica profesional, como AutoCad y Adobe
photoshop, que serían complementados por softwares de creación de fractales y
simulación como Fractal Explorer, Lsystems, Cellular Autómata, etc. De no poder
ser adquiridos por la Universidad, se espera que en el lapso que dure la
materia electiva, el alumno pueda bajar los programas en forma gratuita de la
red, a prueba por un mes aproximadamente.
·
CONCEPTUALIZACIÓN: Cuando el docente trabaje haciendo
referencias a otros campos disciplinares, deberá, en su accionar, no
complejizar demasiado la conceptualización, para que los alumnos puedan hacer
las reconstrucciones correspondientes.
REFLEXIONES FINALES
Muchos profesores han escrito sobre el éxito en
la integración de geometría fractal en el currículo y describen su experiencia
en las clases. No sólo contamos con los libros de Mandelbrot, quien sigue
activo en la docencia e investigación, sino que hay una variedad de textos
publicados en la web. (3)
“Of the mathematical topics
that can be taught in schools, fractals are the only concept that was developed
by someone who is still alive. Moreover, fractals have the romance of being
beautiful and involving two forms of drama: the drama that is provided by
recent resistance to their acceptance and the drama that comes with the fact
that near-beginning students can actually understand what great living
mathematicians try -- and sometimes still fail -- to prove.
Two major factors are in
favor of fractals. One results from their effectiveness in the sciences. Some
bring to mind real things like mountains and clouds or stock market charts.
Others are extravagant and totally new, but unconsciously bring to mind all
kinds of decorative patterns that humanity has known since time immemorial. The
second factor is that gratification comes quickly. The path from silly formulas
to impossibly difficult problems is much shorter than is usual in mathematics.”
(Entrevista a Benoit Mandelbrot, por Jacqueline
Weaver, 2003)
Nos atrevemos a pre-concluir que la belleza de los gráficos
y su relación con la arquitectura y diseño urbano, estimulará la curiosidad de
los estudiantes y motivarán experimentaciones –prácticas y teóricas-.
Sin embargo, la espectacularidad visual puede ser una
tentación al juego morfológico que proponen algunas cátedras de grado y
posgrado de alto contenido teórico que jamás incluyen a los usuarios,
hipotéticos o reales.
Por lo tanto,
en un intento de revertir esta situación, y sin dejar de lado el campo teórico,
se hará énfasis en los aspectos humanos de la ciencia; nuestro objetivo no es
que el alumno trabaje desde la subjetividad creadora, indistintamente con las
formas del objeto arquitectónico y urbanas, sino que tome consciencia que la
geometría fractal es una herramienta para entender los procesos cognitivos que
las comunidades aplican o desean intuitivamente en sus asentamientos y
edificios, recordando incluso que las comunidades primitivas han tomado ventaja de los aspectos no lineales de los sistemas dinámicos
ecológicos.
Cualquiera sea el perfil que el alumno desarrolle, la geometría fractal
será un lenguaje común para las disciplina que éste elija.
Todas estas consideraciones necesitan de un espíritu de equipo para ser
llevadas a cabo. Y nos referimos no sólo a los miembros de un grupo sino también
a los pertenecientes a otros, con los que se pueda intercambiar ideas y
experiencias. Contamos con la cooperación de otras cátedras que, esperamos se
abrirán positivamente al cultivo del pensamiento superior, las nuevas
tecnologías y modelos de enseñanza. (6)
“Tomaremos distancia” y reflexionaremos
acerca de cómo funciona el nuevo modelo de enseñanza y cómo puede ser
documentado y compartido con otros.
Este procedimiento es legítimo en
cuanto incentiva la investigación generando conocimientos nuevos y aprendiendo
a resolver problemas, y su verificación se daría en la posterior comunicación
entre la obra y el comitente.
REFERENCIAS
1.
Citemos a William Jackson en “Other
shore fractals: Hindu trascendence symbols and the modelling of wholeness”
(Yale courses).: “The ideal form gracefully artificed suggests the infinite
levels of existence and consciousness, expanding sizes rising toward
transcendence above, and at the same time housing the sacred deep within”. La proliferación de las torres representan varios aspectos
del panteón hindú.
Ver también “Heaven’s Fractal Net”, escrito por el mismo autor, donde
trata del reconocimiento de estructuras fractales en la naturaleza,
organizaciones sociales, simbolismos rituales, en arquitectura de Europa y
América. ISBN: 0253216206
2.
Se ha relacionado a la arquitectura
moderna con la matemática newtoniana (ej. Le Corbusier y el uso del número de
oro) y, actualmente Charles Jencks en su libro “El Nuevo Paradigma en
Arquitectura”, destaca el carácter
fractal de algunos edificios de Frank Gehry, Peter Eisenman, Zaha Hadid, Daniel
Libeskind, que, según Salingaros no se apoyan en la ciencia sino en la
filosofía de los deconstructivistas franceses; no responden a autosimilitud en
cada nivel de magnificación y obviamente no son originados por procesos
complejos de auto-organización. Ver “Charles Jencks y el nuevo paradigma en
arquitectura”. Versión en español para Ambiente, Revista 97.2006. También on line
3. En su libro “Fractals, Graphics, and Mathematics Education”, B. B.
Mandelbrot y M. L. Frame dan una lista de escuelas, colleges y universidades
donde se ha implementado la geometría fractal en el currículo. Entre ellos: Boston Technical High School (MA), Broward
County middle and high schools (FL), the Hotchkiss School (CT), Lehigh
University (PA), New Trier High School (IL), Nickel District Secondary School
and various York Region Schools (Ontario, CAN), St. Joseph's University (PA),
Union College (NY), the University of California at Riverside, the University
of Rochester (NY), the University of Scranton (PA), y Yale University (CT).
Los estudios en The Urban School of San Francisco
incluyen varios cursos de matemática y otro electivo llamado Infinity, que
trata de geometría fractal y teoría del caos.
Ver en detalle:
Para ilustrar algunos cursos de Mandelbrot y Frame,
ver también
4.
Para temas de teoría proyectual, ver
Jorge Sarquís, “Investigación Proyectual: Historia de las teorías, los
procedimientos y las técnicas.- Theorias, praxis y poiesis, Revista Area No 8,
SYCIT, FADU, diciembre 2000.
5.
Los profesores Thomas Fischer y Christiane Herr (Hong Kong University)
advierten que las analogías pueden crear confusión en los estudiantes y
oscurecer los conceptos en los cuales están basadas. Como ejemplo, citan una
hoja de helecho, realizada con L Systems a modo de tipología de diseño
generativo. La resultante es una imagen fractal donde subyacen algoritmos y parámetros,
pero también sirve para estudiar la morfología de un proyecto urbano. Una vez
establecido que los fenómenos de la naturaleza pueden ser deducidos por medio
de técnicas generativas, vemos que la matemática no puede dar afirmaciones
terminantes sobre la naturaleza, pero
sí puede generar diseños naturalísticos emparentados con morfología urbana.
Este ejemplo también nos demuestra la posibilidad de trabajar
interdisciplinariamente, siguiendo las combinaciones de pares de inteligencias
a la manera de Howard Gardner.
6.
Se invita a leer el artículo “Hostelry in San Pedro”, del estudiante
Víctor Papadia para el Journal of Mathematics and Design.Vol 3, No 1. 2003
El trabajo de Víctor para Arquitectura 4, ciclo
lectivo 2002, fue corregido en su
cátedra de Diseño y, en cuestiones de fractalidad, monitoreado por la directora del Centro M&D, dra Vera de
Spinadel, conjuntamente con la autora de este texto, que en ese entonces se
desempeñaba como Jefa de trabajos prácticos en otra cátedra de Diseño, de
postura distinta a la del alumno. El seguimiento expresa un trabajo
multidisciplinario que dió muy buenos resultados.
BIBLIOGRAFIA
Ashline George.
Revisión del libro “Fractals, Graphics, and
Mathematics Education”. De B. B.
Mandelbrot y M. L. Frame.
Casakin, H. “El
Uso de Representaciones Visuales en los Problemas de Diseño”, Revista Area No
8, SYCIT, FADU, diciembre 2000.
T. Fischer,
Christiane Herr, “Teaching Generative Design”
Machado, Nilson J. “Epistemología e Didática”, Cortez Editora, Sao
Paulo, Brasil, 1995.
Mandelbrot,
Benoit B. y Frame, Michael. Chapter 1. Some Reasons for the Effectiveness of
Fractals in Mathematics Education. (on line)
Ostwald Michael J. “Fractal Architecture: Late Twentieth Century
Connections Between Architecture and Fractal Geometry”. In Nexus Journal, Vol 3,
No 1, 2001
http://www.nexusjournal.com/Ostwald-Fractal.html
San Sebastián, Alvaro. “La Formación de los Arquitectos”,
Area de Formación, Centro Poiesis, Serie Difusión 8, SICYT, FADU, Buenos Aires,
1994
Spinadel, Vera Winitzky de. Anales de Trabajos Presentados en el 1º
Congreso Internacional de Matemática y Diseño, 23 al 27 de Octubre de 1995,
FADU, UBA.
Vedoya, Daniel E. “Innovaciones en la Enseñanza de la Tecnología”, XIII
reunión de ATYDA, FADU, mayo 2002
Salingaros, Nikos A. Architecture, Patterns and Mathematics. In Nexus
Network Journal. Vol 1. No 2. 1999
Weaver, Jackeline. Entrevista a B. Mandelbrot. Para Yale Bulletin And
Calendar. February 28the, 2003. Vol 31, No 20
http://www.yale.edu/opa/v31.n20/story6.html
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