Morfología Urbana y Diseño Fractal: Avances en la inclusión del paisaje urbano

Video de mi presentación VII Conferencia Internacional MAyDI Septiembre 2013, FAU Tucumán, Argentina

 

Three videos of how to measure the Fractal Dimension of urban morphologies

Though the videos are in Spanish, readers will be able to understand them, as I am showing the methodology, the way I make it myself.

It´s my first time producing short videos, and maybe you´ll see some technical mistakes, I promise they will be better in the near future.

Here it goes, parts 1, 2 and 3. The last one is related to the selection of the scale.

Transformación de Fourier aplicada al análisis de formas urbanas

Póster presentado en el VIII Encuentro Regional de Investigación. XXVI Jornadas de Investigación, FADU, UBA, Buenos Aires.

Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo de Buenos Aires. Septiembre de 2012

Nota: El texto lo he traducido del inglés y ¨Transformación de Fourier¨ quedó como un neologismo, cuya traducción aceptada -a la aplicación matemática- sería ¨Transformada de Fourier¨. El póster que comparto en el blog es el trabajo original. Por el proceso que aplico para analizar las formas urbanas, preferí dejar la palabra ¨Transformación,¨ que es más conocida entre los arquitectos.

Transformación de Fourier aplicada al análisis de formas urbanas by Myriam B. Mahiques is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.

Póster Morfología Urbana y Diseño Fractal

Expuesto en las XXIV Jornadas de investigación FADU-UBA 10 al 11 de Septiembre 2008, Buenos Aires.

Mesa: Didáctica del Proyecto

PROPUESTA DE MEDICIÓN DE LA DIMENSIÓN FRACTAL : LA CIUDAD-MATERIA Y LA CUADRÍCULA URBANA

Propuesta de Medicion Fractal. (Proposal of Fractal Measurement) Proceedings in 5o Conferencia Internacional de Matemática y Diseño. Blumenau, Brasil, Julio 1-4- 2007. ISBN 978-85-7114-175-4 

 http://home.furb.br/alexb/md2007terversao.swf

Keywords:

Morfología urbana

Fractalidad

Image J

Cuadrícula urbana

Ploteos de superficie

La aplicación de la geometría fractal en modelización espacial responde a  un método para analizar formas, que permite la comparación entre  modelos espaciales y estructuras empíricas.

En este tema, la elaboración de un sistema de medición no es sencilla, y supone entender las características de la forma urbana en relación a una problemática contextual.

Teóricamente, las formas que tienen la misma rugosidad, debieran tener un comportamiento similar. Pero no siempre es así.

 Si  visualizamos la forma, podemos comprender el sistema. Es por ello que proponemos contraponer dos morfologías urbanas básicas distintas, la cuadrícula  urbana y la ciudad-materia de raíces primitivas.

1. INTRODUCCION

Durante la segunda mitad del siglo XX, ha crecido el interés en el estudio de los sistemas como un todo, en oposición al reduccionismo que estudiaba las partes constituyentes. La cibernética se concentra en estudios holísticos de los procesos de diseño dibujando analogías, en dos direcciones, entre organismos y máquinas.

Es de nuestro interés desarrollar un modelo conceptual, que no es más que una simplificación de una realidad compleja, para lograr un mayor entendimiento de la estructura de la ciudad o asentamiento, tomados como sistemas dinámicos. El método  estará basado en el razonamiento intuitivo, global, en la experiencia, y resultará en la abstracción de los caracteres relevantes de una gran cantidad de información.

Los fractales representan los sistemas dinámicos, la geometría de la naturaleza, las infinitas retro-alimentaciones, en síntesis, lo que no puede ser medido en términos Euclidianos.

Aún no se ha definido un fractal, sino se enumeran sus propiedades características:

·        Un fractal tiene una estructura fina; esto es detalle en escalas arbitrariamente pequeñas.

·        Un fractal es demasiado irregular para ser descripto con la geometría euclidiana tradicional, tanto local como globalmente.

·        Con frecuencia un fractal tiene una cierta forma de auto-semejanza, quizás aproximada o estadística

·        En general, la “dimensión fractal” es mayor que su dimensión topológica

·        Se pueden generar fractales geométricos en forma muy simple, por lo general recursiva.

Para continuar el concepto, es necesario comprender el significado de dimensión topológica. La relación entre topología y sistemas dinámicos ayudan a visualizar el rango de comportamientos de un sistema dinámico. La geometría fractal cuantifica la rugosidad de los objetos mediante un índice llamado “dimensión fractal”. Normalmente consideramos que los puntos tienen dimensión 0, las líneas 1, las superficies 2 y los volúmenes 3. Es lo que llamamos “dimensión topológica”. Sin embargo, una curva rugosa, que recorre una superficie puede ser tan rugosa que casi llene la superficie en la que se encuentra. Hay varios métodos para el cálculo de la dimensión fractal; si el fractal es muy complejo, se utilizan computadoras. Un dibujo, un esquema, un plano, una fotografía pueden ser útiles.

Comparativamente, si un fractal se mide en un número de iteraciones, para una estructura empírica, tomaremos progresivas variaciones de medida (con la aplicación de un factor de escala). Un fractal determinista, en cualquier escala de observación, dará el mismo valor de Dimensión Fractal (D), o sea, es perfectamente autosimilar. Pero, una morfología urbana no es un fractal determinista; con lo que la comprobación de autosimilitud no registrará valores de D idénticos, pero podemos inferir, al encontrar valores similares, que “la forma muestra propiedades análogas a la autosimilitud fractal”.

El método de medición de D más conocido es el de conteo de cajas (box counting): se basa en la propiedad fractal de auto-semejanza. Se aplica a cualquier figura en dos dimensiones, y es posible adaptarlo a tres dimensiones. Consiste en cubrir la imagen con cajas de dimensión s y se seleccionan aquellas celdas que están ocupadas, hasta completar la imagen. Luego, se va cambiando s progresivamente por otras cajas más pequeñas, siguiendo una proporción (factor de escala) y nuevamente se seleccionan las cajas ocupadas. En cada paso se aplica la fórmula de D (Hausdorff-Besicovitch) y si se desea se traza un gráfico de comportamiento escalar (plot of scaling behaviour) donde representamos: Eje de Y, el log de las celdas ocupadas en su totalidad (dividendo de la fórmula D); en el eje X, el log de las celdas correspondientes al factor de scaling (divisor de la fórmula D). El cociente entre valores representa la pendiente de la línea resultante y contiene el valor de D. 

2. OBJETIVOS

Teóricamente, las formas que tienen la misma rugosidad, debieran tener un comportamiento similar; no siempre es asi. Si visualizamos y analizamos la forma final que encubre una estructura (pattern) podemos comprender el sistema.

Las mediciones resultantes, por sí mismas no son significativas. Veremos que a valores de D muy similares, los modelos estructurantes de la morfología urbana son distintos –opuestos-, y responden a contextos geográficos, sociales, históricos diferentes y atemporales. Incluso la vegetación y los materiales difieren absolutamente, los ejemplos contienen chapas corrugadas, ladrillos, arcillas, piedras, etc.

 Esto nos lleva a tres consideraciones fundamentales que son independientes como herramientas, pero dependientes entre sí en la evaluación final de la morfología:

el tratamiento adecuado de las imágenes;

la forma de medición;

el uso de herramientas accesorias para “cerrar” y clarificar conceptos.

3. METODOLOGIA

La metodología propuesta consiste en interpretar estas estructuras empíricas (ciudades, barrios, asentamientos, fachadas, etc) como fractales aleatorios o estocásticos. La geometría no es medición en sí misma, pero es interactiva entre la modelización y la medición.

Antes de realizar la medición, se ha procedido a un análisis intensivo de la fuente con la que hemos de trabajar.

Luego de decidir sobre el recorte de la escala y la imagen, nuestro siguiente paso fue descubrir la constitución del sistema: aglomerado, conglomerado, agregado....según puedan o no separarse las partes.

Por ejemplo, si analizamos una fotografía aérea, y según los reflejos del sol y las sombras, nos resultaría muy difícil poder separar las construcciones de las calles y la vegetación, con lo cual los resultados de mediciones fractales -o cualquier otra aplicación- tendrían un  margen de error mayor según los filtros aplicados.

Si se requiere un análisis muy detallado, como en el caso de un análisis comparativo de morfologías de estructuras muy similares, es recomendable la inserción de la fotografia en AutoCad y luego, se podra dibujar los contornos de las construcciones y luego llenarlos. En este caso obviaríamos la vegetación y cualquier elemento que no pertenezca a las construcciones. Las estructuras temporarias se dejarian o no, según el sesgo del análisis.

Damos por sobreentendido que la imagen necesitará ser filtrada, con uno o más filtros que se seleccionarán, según se desee mayor nitidez, énfasis de los bordes, contraste, ruido para énfasis de partículas pequeñas, etc.

En el caso de escalas muy pequeñas que no permitan la visualización deseada, los indicadores ayudarán a completar la información.

Un análisis extensivo de datos, como la diferenciación de árboles, agua, viviendas, etc., conlleva a fijar un criterio sobre qué elementos serán separados o no de la medición. Nuestra postura incorpora la percepción fractal: no nos basamos en dibujos lineares o abstracciones. Partimos de fotografias que contienen toda la información que percibiria el ojo humano. Por lo tanto, los recortes de elementos adyacentes u ornamentales son menores. 

4. COMPARACIÓN DE LAS FORMAS

El primer ejemplo, será un sector de la Ciudad de La Boca, en Buenos Aires.

En la clasificación planteada al principio, estamos ante la cuadricula surgida de la aplicación de Las Leyes de Indias.

Diversos ejemplos de formas complejas de asentamientos primitivos se encuentran fundamentalmente en Africa. El dr. Ron Eglash ha demostrado que estas formas son  fractales análogos por excelencia. Veremos Lebezzanga y nuestra experimentación ante una forma totalmente opuesta a la cuadricula.

Un tercer ejemplo es Pueblo Bonito, en U.S.A., habitado antiguamente por la tribu de los 

Anasazi. En este caso, la forma esta emparentada con espirales metafísicas grabadas en petroglifos.

La medición consiste en dar valores a los fenómenos que nos interesan, dentro de un marco establecido. Sirve a los fines de la caracterización de los atributos de un objeto y formas espaciales –adquisición de datos-, a la descripción de sus relaciones, a calificar semejanzas, etc.

En nuestro ejercicio, D será medida con el software ImageJ.

El paso que precede a la selección de la imagen, es la transformación de la misma en imagen binaria, y luego se mide D, tomando varias medidas en las celdas. El software nos ha arrojado un valor entre 1 y 2, que, resulta muy similar en las tres morfologías elegidas. Pero si bien es índice general de una cierta densidad, nada refleja de la conformación urbana de cada una de ellas, ni que zonas son más o menos densas.

La aplicación de histogramas de densidad y cortes de densidad, ayudarán a la comprensión de la imagen o detalles de la misma, y están emparentados con la escala de grises (léase oscuros para viviendas, claros para las calles o tierra).

El histograma es un gráfico de coordenadas que muestra el número de pixels en una imagen en cada diferente intensidad de valor de la misma. Para una imagen de 8-bit en escala de grises hay 256 posibles intensidades, por lo tanto el histograma mostrará gráficamente 256 números y la distribución de los pixels en la escala de grises. Los histogramas también pueden hacerse con imágenes en color.

Para lograrlo, la imagen es escaneada en un solo pase y automáticamente se cuentan los pixels con su valor correspondiente.

Los cortes de densidad (thresholding), son útiles a los fines de separar las regiones de objetos en los que estamos interesados, y establecer un fondo y figura. Esta herramienta ejecuta una segmentación de la imagen en base a diferentes intensidades de colores y está relacionada con el histograma.

La segmentación más simple corresponde a la imagen binaria. Los pixels negros se toman como fondo y los blancos como figura, o viceversa.

No todas las imágenes pueden ser segmentadas fácilmente como fondo y figura usando thresholding. Si una imagen será adecuada o no a la hora de la segmentación se desprende del histograma.

El ploteo superficial, lleva las herramientas anteriores a la tercera dimensión, facilitando la comprensión de la complejidad y densidad urbana, según lo que leemos en la foto en 2 D.(1)

Estamos aquí ante una imagen de ciudad consolidada al Sur de Buenos Aires, con calles ortogonales y edificios de dos pisos en promedio. Además del grupo de manzanas que  mostramos, hemos trabajado con grupos de 9 (D=1.8407) , 6 (D=1.8246) y 4 manzanas (D=1.8137). Los valores de D, en distintas escalas, dan valores muy similares, lo que implicaría una cierta autosimilitud.

El ploteo superficial ilustra las alineaciones, mientras que la rugosidad de los picos, denota la rugosidad en la fábrica urbana, como consecuencia de las condiciones muy elevadas de hacinamiento de la masa migratoria que produjo una rápida suburbanizacion de grupos de bajos recursos que utilizaban fragmentos de materiales para construir sus viviendas. Tengamos presente que la foto incluye –aunque de una perspectiva lejana- cables, carteles, cañerías a la vista, árboles, etc., que no se han borrado por ser parte específica de la ciudad. 

Esta fotografia de Lebezzanga fue tratada con filtros de fondo blanco para el terreno, remarcado de los bordes, transformación binaria. (2)

No todas las arquitecturas circulares en Africa tienen locación centralizada. El ejemplo muestra la villa Songhai en Labbezanga, en Mali. Su pattern consiste en “rulos” de casas  circulares sin un foco que pueden separarse del sistema. Lo que no implica falta de autosimilitud, ya que la geometría se basa en simetrías en varias escalas. Eglash menciona que las viviendas rectangulares corresponden a influencias islámicas y que probablemente la estructura original era completamente circular. (Eglash, 2002)

Nótese esta peculiaridad en los ploteos de superficie. En algunos sectores, los pixeles aparecen alineados, en alusión a los rectángulos de base. Si los picos se juntan, asimilaremos a aglomerados para morfologías compactas, de lo contrario, asimilaremos a agregados. (3)

Las investigaciones en El Solstice Project, (4) revelaron que las grandes construcciones del Chaco (Nuevo México, USA) están organizadas en base a complejas reglas regionales con implicaciones religiosas y astronómicas, relacionadas con el sol y la luna.

Pueblo Bonito muestra una relación morfológica con un petroglifo de espiral (aprox. 24cmx36cm) en Fajada Butte. El proyecto demuestra el sofisticado conocimiento astronómico, geométrico de estas culturas y una gran capacidad de pensamiento abstracto: en la iconografía prehistórica, la espiral simboliza la serpiente universal, que a su vez constituye la encarnación del dinamismo, la fuerza vital y los poderes regeneradores de la naturaleza.

La morfología general de Pueblo Bonito muestra un semicírculo cruzado por una pared orientada de N a S., con un elemento dominante que es la kiva de mayor tamaño del asentamiento. El petroglifo parece mapear Pueblo Bonito.

Más allá de esta relación con la espiral (círculo evolutivo en la geometría fractal), la disposición interna de Pueblo Bonito consiste en recursiones de rectángulos (plantas de edificios prismáticos de hasta cuatro pisos) y repeticiones de círculos (plantas de kivas ceremoniales) que forman un patrón fractal; la repetición implica una imagen abstracta de la generalidad, en este caso, morfológica.

Se discute si Pueblo Bonito tiene características fractales. Según Ron Eglash, no es así, porque se trata de una sucesión de círculos. Pero, considerando que la zona central repite un petroglifo de espiral, y, que la imagen filtrada presenta una complejidad no euclidiana, podemos analizar la forma como un fractal análogo al modelo “balsa de burbujas”, según la ocupación de suelo. La imagen –a diferencia del caso de La Boca y Lebazzanga- no contiene las construcciones en elevación. Sólo se están mostrando los estratos cercanos a las fundaciones, con lo que la imagen se  torna compleja y confunde las construcciones rectangulares con las circulares. En consecuencia,  el ploteo de superficies es sumamente rugoso, y muestra un conjunto de picos sin destacar las construcciones rectangulares, que debieran verse en oposición a los círculos. El ejercicio, si bien no registra errores en la utilización del software, confundiría al ojo inexperto ya que expresa una situación diferente a la del modelo estructurante original. Advertimos aquí, la importancia de los filtros, que no deben disfrazar el pattern, sino  clarificarlo lo más posible. El ploteo de superficies ayudó entonces a descubrir que los filtros no han sido apropiados.

5. CONSIDERACIONES FINALES

Con respecto a “D”, la evaluación cuantitativa de bordes es un problema complejo que no sólo involucra la magnitud de dimensión fractal usada para describir el sistema, sino también es un parámetro de descripción del pattern.

Es necesario también comprender lo que significa “número no dimensional”, que surge de comparaciones: la afirmación “un área es tres veces más grande que otra” proviene de dos áreas comparables. Al realizar los gráficos de datos generados en exploraciones fractales, es muy importante convertir los perímetros y longitudes parciales en formatos no dimensionales, para que D nos lleve a conclusiones acerca de: (5)

.- Grados de concentración de masa a través de escalas jerárquicas. Un extremo es D= 0, donde la concentración se fija en un solo punto. El otro extremo es D=2 con la ocupación uniforme total de la superficie. Si D es alto, la jerarquía de escalas es baja, y si D es bajo, la jerarquía de escala es mayor.

.- Redes: grados de accesibilidad, ramificaciones. Si D es alta, la cobertura del espacio por redes será muy alta, y la jerarquización por escalas muy baja. Por el contrario, si D es baja, las redes serán más abiertas y las jerarquizaciones de escala más altas.

.- Borde: Si D>1 el borde será muy tortuoso

Proponemos entonces, no sólo la medición exhaustiva de las formas, sino la comprensión de las mismas y por lo tanto del grupo social que las ha generado. Los trabajos de diseño urbano se basarán en estas investigaciones y los resultados serán los adecuados para la sociedad a la que se destina.

Si tenemos en cuenta a la arquitectura como un meta-lenguaje universal, como construcción de un continuum antropológico, concluiremos que las consideraciones sobre asentamientos y ciudades abarcan mucho más que números y juicios estéticos.

“lo que el hombre construye en un sentido amplio, no está primariamente relacionado con la estética, sino con el hombre”, “Objetivamente y universalmente, la arquitectura significaría todo lo que ha sido construido por el hombre y posiblemente por sus antecesores”. (Egenter, 1992) 

NOTAS

(1)   Entiéndase que no es lo mismo que la elevación en 3D de la morfología urbana. Una torre, según le afecte el sol, podría leerse con los mismos valores de ploteo superficial que una vivienda de un piso que muestra la misma luminosidad en la foto.

(2)   Se considera un cierto margen de error, si la imagen no es tratada con absoluto detalle. Por ejemplo, los techos rectangulares están afectados por la luz solar, pero se compensa con la sombra lateral. A los fines del ejercicio, no consideramos necesario borrar sombras y llenar luces, si se complementan.

(3) Esta peculiaridad no puede ser evaluada directamente por el software. Sólo el ser humano puede ver simultáneamente un aglomerado/agregado fractal de figuras euclideanas,  es decir, el aglomerado rugoso y las subunidades al mismo tiempo.

(4)   El Solstice Project,  fue organizado en 1978 para estudiar, documentar y preservar el “Sun Dagger”, un calendario celestial de los antiguos indios Pueblo, cultura que se desarrolló en el Cañón del Chaco (Nuevo México, USA) entre los años 400 al 1300 D.C.

(5)   Se sugiere ver los textos de Frankhauser (2004) para completar los conceptos matemáticos. Si bien Frankhauser no relaciona la sociedad con la forma, sus análisis de herramientas con el software Fractalyse son profundos. En nuestra opinión, Image J es más sofisticado y completo, especialmente en el estudio de partículas. 

ULTIMAS TENDENCIAS EN LA INVESTIGACIÓN DE MORFOLOGÍA URBANA

Presentación para las Jornadas de la Secretaría de Investigación, Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo de Buenos Aires.

Año 2005

Unidad Temática: TECNOLOGÍA EN RELACION PROYECTUAL. La Concreción del Proyecto. 

 Mesa temática: Tecnologías, desarrollos conceptuales, pedagógicos y relatos de proyectos en relación con la arquitectura y el urbanismo

INTRODUCCIÓN

Superadas las creencias de la tradición inhibida de las décadas del ’20 al ’50, donde las manifestaciones arquitectónicas eran hiper-conscientes, conservadoras, elitistas, centralistas, pragmáticas, con componentes de un fundamentalismo místico para dominar las masas, nos encontramos ante las nuevas teorías de los ’60, en los que la mayor parte de los estudios no se basaban en la historia, aunque sí consideraban la existencia y distribución de los edificios históricos; el planeamiento  de pueblos y ciudades aún resultaba en contenedores del uso de la tierra.  Durante la transición del CIAM al TEAM X no había un compromiso activo de los diseñadores en actitudes políticas o sociales; compartían con Le Corbusier la idea que la arquitectura y urbanismo podían transformar socialmente a los hombres y que deberían reflejar algunos principios ordenadores de la naturaleza. Esta idea subyacente de considerar la arquitectura a escala cósmica se expresa como “escuela metafísica”.

La forma emergía de los elementos estructurales, era su resultante.

Este manifiesto producía la cúpula, el tetraedro, el arco, en referencia a las ideas platónicas, con la intención de influir de manera indirecta en el orden mental de los usuarios.

Los más prominentes críticos de esta posición fueron Kevin Lynch, Christopher Alexander y Jane Jacobs, quienes instaron por una aproximación más humana al planeamiento urbano, basados en la información de lo que sucede en las ciudades. Alexander fue el que incorporó por primera vez conceptos matemáticos en el estudio de las mismas, comprendiendo que la ciudad era un complejo organizado a la manera de un organismo biológico, que sólo podía entenderse mediante nuevas herramientas conceptuales. Afirmaba que todas las ciudades históricas o “naturales” tienen muchísimas superposiciones o subconjuntos que implican su diversidad. Con el desarrollo de los “patterns” Alexander mostraba una clara regresión al deductivismo.

TENDENCIAS

Recientemente, las investigaciones sobre forma urbana se siguen en muchas direcciones, siendo la rama histórica la más fuerte, basada en la importancia de las formas creadas por previas generaciones. En efecto, los morfologistas urbanos no hemos de limitar la atención a la forma, sino que también hemos de examinar los individuos, organizaciones y procesos que han conducido a esa forma.

Este es el camino que hemos seleccionado en el proceso de nuestra investigación, apoyados por la teoría de “Ciudad Fractal” (Batty  and Longley, 1994, Batty y Xie,  1996), que demuestra los orígenes de las formas fractales urbanas, e implica una relación directa con estos modelos.

Sin embargo, hemos de abordarla desde una concepción amplia, no reduccionista, evitando apoyarnos solamente en la geometría de las formas emergentes –fisicalismo epistemológico- , y buscando las reglas de transición.

La arquitectura y urbanismo están francamente relacionados con la biología (esto es intuitivamente verdadero desde una perspectiva estructuralista) y su evidente relación con las formas fractales; el fisicalismo epistemológico y el organicismo se estudian a través de la teoría de sistemas complejos, en el marco de la teoría del caos. El producto resultante se logra seleccionando algunos elementos de la estructura abstracta formal considerada (geometría fractal).

Esta idea de conexión biológica ha sido usada por arquitectos tradicionalistas, modernistas, posmodernos, de-constructivistas, organicistas... generalmente focalizados desde una imitación morfológica de la naturaleza, y en los últimos años incluyendo las estructuras producidas por insectos (redes de arañas, excavaciones de termitas, etc) y la utilización de biotecnología  e ingeniería genética para optimizar los materiales de construcción (1). Nuevamente nos encontramos con la antigua creencia metafísica por la cual todos los fenómenos responden a un orden fundamental, y en consecuencia deberían interpretarse según la ley de ese orden; pero....... qué hay de aquéllas formas urbanas vernáculas y espontáneas, realizadas según un modelo que parece ser inconsciente, o accidental?  Estas formas, pueden hallarse dentro de un gran espectro, desde los diseños generados en estado de inconsciencia, pasando por los diseños generados por conocimiento tácito,  hasta llegar a los diseños de matemática aplicada.

El estadio intermedio, es de nuestro especial interés, ya que en nuestra disciplina podemos basarnos en las formas que integran el habitat, las que proceden del accionar humano, para un análisis más acabado de dicha sociedad. Recordemos que el objeto principal del pensamiento teórico del diseño urbano, no está en los significados arquitectónicos de los edificios sino en la sociedad y la forma físico-espacial de las ciudad que habita.

La experimentación acerca del comportamiento de los agentes de un sistema se realiza por medio de softwares de simulación, como L-Systems, Difussion Limited Aggregated (DLA), Cellular Automata (CA).

 Se trata de hallar, con el apoyo de herramientas informáticas, lo que a simple vista está oculto. El investigador se esfuerza por alcanzar una comprensión del mundo, y en este proceso, esta tecnología es una útil experiencia de pensamiento.

La comprensión de las raíces cientificistas de la arquitectura y urbanismo –cualquiera sea la teoría de la que partimos- requieren otras consideraciones, las que conciernen al modo en que percibimos los mismos. (2)

“It has more to do with our own internal structure as human beings than with more general biological structures. The answers are to be found in cognitive processes, perception, and neurophysiology”. (N. Salingaros, 2003)

En apoyo de esta afirmación, el Dr. Salingaros (University of Texas, San Antonio), cita el trabajo de  Steven Pinker (profesor de psicología en el MIT), quien advierte sobre los planificadores que utilizan los “principios científicos”, sustentados por preferencias culturales, forzando a millones de personas a vivir en grises “cajas de cemento” –como  llama a los proyectos sociales masivos- que produjeron grandes atrocidades en la historia.

FRACTALIDAD Y FORMA URBANA

Según el profesor Brian H. Kaye, la posibilidad que los conceptos de dimensión fractal desarrollados por Mandelbrot,  puedan ser usados para describir estructuras complejas, ofrece un escape a las modelizaciones de “gallinas esféricas”. (3) Kaye adapta el “yardstick method” utilizado por Mandelbrot con lo que él llama una técnica de camino estructurado (structured walk technique) para el estudio de partículas de Carbono, la que podemos utilizar por extrapolación.

Cuando usamos la técnica de camino estructurado para explorar figuras euclidianas más complicadas que un círculo, se obtienen resultados interesantes,  las elipses elongadas aparentemente muestran una estructura fractal para exploraciones de baja resolución, cuando sabemos que son euclidianas. Esto muestra el peligro de llevar a cabo un experimento en el cual uno ansía encontrar un resultado.

Hemos de notar también que una diferencia importante entre un fractal natural y otro ideal es que el fractal natural  puede ser solamente usado para describir un borde real sobre un rango especificado de resolución, y que cualquier borde natural  puede exhibir diferentes bordes fractales y/o euclidianos en varios niveles de resolución.

Este sería el caso de Buenos Aires y sus manzanas: desde la resolución satelital, los bordes de la mancha urbana son fractales similares al conjunto de Mandelbrot, luego un conjunto de manzanas definidas por su borde se transforman en un grupo de cuadrados ( figuras euclidianas) y si avanzamos en el nivel de complejidad, el tejido se puede comparar a la carpeta de Sierpinski.

Estos patterns –modelos- pueden consistir en subconjuntos con diferente dimensión fractal, que muestran un comportamiento multifractal. (4)

Y, acerca de la medición del borde fractal de una ciudad determinada, de nada nos serviría el resultado arrojado si no comprendiéramos que un incremento del borde –más si la superficie de la mancha urbana se mantuviera hipotéticamente estable- indicaría un incremento de la población, mayor posibilidad de relaciones, menor distancia al centro, etc. Una sencilla ecuación matemática nos impulsa a la consideración de muchos problemas urbanos. (5)

Por lo tanto, con estos programas utilizados en investigación, accedemos a la observación empírica de los múltiples productos (resultados espaciales) que arrojan, pero también se necesita de nuestra intuición y experiencia para una selección adecuada de los mismos; luego, deberemos reflexionar sobre cómo los individuos se desarrollan según la organización seleccionada, en la colectividad correspondiente, que a su vez afectará a otros individuos dentro de otras colectividades. (6) (7)

ÚLTIMAS CONSIDERACIONES

En toda investigación, se produce un proceso en el cual el investigador trabaja basado en sus creencias, confronta sus ideas con los conceptos imperantes en la sociedad, y las transforma luego, en una sucesión de descubrimientos que deberán ser reincorporados como material y medio de nuevas investigaciones, para dar sentido así a la investigación original.

La ciencia es una creencia más. Por lo tanto, cualquier investigador está en la misma posición que otro que emplea otro método: la certidumbre se da de acuerdo al método seleccionado.

Podemos entonces abordar la investigación de la arquitectura desde el cientificismo y/o desde la filosofía, antropología y sociología. Parece ser que todo es cuestión de método, que el campo de la ciencia es móvil y entonces podemos permitirnos tener en cuenta todos los casos, lo que plantearía el problema de determinar cuál es la instancia de legitimación de los saberes científicos.

Estos nuevos saberes sirvieron a especulaciones teóricas, donde el producto queda en la mera formulación y no va a alcanzar la construcción concreta tal cual se lo ha formulado, pero se caracterizará por un plus de significación que legitima la producción de conocimientos. (J. Sarquís, 1997). En este punto quisiera aclarar que consideramos la investigación en nuestra disciplina, tanto en el marco de las búsquedas teóricas como las prácticas proyectuales, ya que éstas implican siempre un proceso de investigación para lograr el esclarecimiento de un problema.

El estudio de cualquier organización basada en el espacio geométrico abstracto, inspirado solamente en sus aspectos formales, sería incompleto si no se incluyen también aspectos sociales (culturales) y filosóficos. No expresaríamos que son caóticos sino que hay distintos órdenes, más complejos, que deben ser comprendidos. Según este punto de vista de defensa de la ciencia en sentido amplio, las creencias pueden ser rastreadas en el testimonio de los demás, en la intuición, en reflexiones, en la experiencia, las actividades prácticas.

Las teorías nos proveen aspectos particulares de una verdad, y los investigadores no deberíamos tomar una de ellas como correcta y otras como incorrectas, sino balancearlas mutuamente. Si las teorías universalmente aceptadas son los núcleos duros, densos, no negociables (ciencias duras, en referencia al fisicalismo), sostenemos que las investigaciones pueden realizarse con el apoyo de las ciencias humanas, para desarrollar la periferia blanda, menos densa, plausible de innovaciones.

Para ello, deberemos plantearnos la posibilidad de incluir en un proyecto transdisciplinar aquellos saberes considerados como “no científicos’, (prácticas tradicionales, saberes cotidianos. Estos enfoques ofrecen puntos de vista imprescindibles que la ciencia por sí misma no nos da. (7)

La reflexión nos debe permitir desviaciones y escisiones en la investigación y debe tener en cuenta la implicancia social y humana del resultado epistemológico teórico.

La teoría matemática es esencial para la indagación de las prácticas sociales, incluyendo las tareas de diseño. Las modelaciones digitalizadas de la forma, y sus resultados, podrán ser falseadas, en el sentido de Karl Popper: los datos soportan las hipótesis o las refutan. Pero los tópicos sociales son muy complejos para ser reducidos estrictamente a modelaciones; podrá haber más  acercamientos a la realidad mediante exploraciones interdisciplinarias. El primer paso consistiría en examinar las construcciones epistemológicas de los pobladores en cuestión, a fines de evitar errores en los futuros proyectos e intervenciones urbanas. 

NOTAS

1.- Como ejemplo, las cabras criadas por Nexia Biotechnologies, en Montreal, tienen un gen de araña que produce la proteína de la seda de araña, para que se desarrolle en su leche. Esta proteína se está usando en una nueva fibra que es cinco veces más resistente que el acero. Se aplicaría en principio para hilos de sutura y luego en la industria de la construcción. (National Geographic, enero de 2003)

2.- Bastaría con recordar, que la palabra “urbe”, tiene su raíz en “urbs”, las piedras de una ciudad, su materialidad para la concreción de refugio, comercio. Y la palabra “ciudad”, tiene su raíz en “civitas”, la palabra para designar emociones, rituales, las convicciones.

3.- Kaye advierte del peligro de la extrema simplificación en los estudios morfológicos. Ejemplifica con lo que él llama “el síndrome de las gallinas esféricas”. En su libro “A Random Walk Through Fractal Dimensions”, comenta que esta “enfermedad”, desvía a los investigadores de la realidad hacia sobre-simplificados modelos de sistemas. Se refiere a la anécdota histórica del físico a quien se le encomendó el estudio del calor generado por un galpón (criadero) atestado de pollos. El objetivo del estudio consistía en ver cuánto calor generaban y perdían los pollos, y si el equipo de refrigeración era suficiente para mantenerlas “felices”. Luego de seis meses, le preguntan si arribó a algún resultado, y el físico responde “no aún, pero estoy llevando a cabo experimentos de modelación en una computadora, que encuentra cuánto calor pierde la superficie de un pollo esférico”. Las plumas reales, las alas, las patas del pollo, son un desafío muy grande para las matemáticas de una computadora, y una de las tentaciones para un investigador es cambiar la estructura en una más sencilla, para resolver el problema con la tecnología disponible, en lugar de desarrollar tecnologías que traten con la realidad del estudio.

4.- Los multifractales son objetos multi-escalares, construidos desde esquemas multiplicativos. Tienen fuerte dependencia del dato: por ej. racimos que devienen en racimos, y así sucesivamente. El concepto es utilizado para analizar tráficos de redes, tráfico vehicular, etc, aquellos sistemas que denotan fluctuaciones en la escala, o sea poseen un espectro de índices de escalamiento –un espectro de exponentes-. Según la distribución de su masa se clasifican en homogéneos o heterogéneos.

5.- Un fenómeno urbano que sirve de claro ejemplo, es el que se da en las áreas latinas de Los Angeles, California, con predominio de inmigrantes mexicanos, de primera y segunda generación. El código de edificación  de Los Angeles, tiene reglas muy estrictas acerca de las construcciones y el uso del suelo. Si bien, la morfología urbana parece euclidiana, basta estudiar las viviendas por dentro y ver, como los inmigrantes producen sucesivas particiones en el interior de las mismas, para poder albergar cada vez más inmigrantes.  Un estudio del borde, no puede demostrar este fenómeno de particiones internas.

6.- En el Centro de Matemática y Diseño dirigido por la dra. Vera de Spinadel (FADU-UBA) ya hemos experimentado al respecto, tomando fotografías aéreas y pasándolas por el filtro de pixelado, transformando luego los pixels en 3D, metodología ideal si el proyecto urbano no presenta bordes difusos. Si la mancha urbana es difusa, y se mezcla con áreas montañosas, la experiencia personal indica que no es conveniente este método, porque el software suele confundir las áreas, especialmente si se trata de una fotografía satelital. Otro problema es que en el ejemplo estudiado en Luján, el  área de la plaza frente a la Basílica, es un vacío , se ve en blanco, pero se podría confundir con los techos a los que da directamente la luz del sol. Consultando a especialistas norteamericanos en estudio de fotografías aéreas, ellos se han encontrado con el  mismo inconveniente, y su sugerencia fue que lo ideal es visitar el área para dar una información más objetiva. Aquí , es muy importante la experiencia personal.

7.- La población puede forzar la forma urbana, según sus diferencias intra-étnicas. Un ejemplo surgió cuando inversores chinos provenientes de Hong Kong revelaron planes para construir un complejo de edificios altos en el casco antiguo de China Town, Los Angeles, que les recordaba el urbanismo de su lugar de origen. Este emprendimiento, fue resistido por otros chinos que no provenían del mismo paisaje urbano. Sucesos similares ocurrieron en los suburbios de China Town, entre las mayorías taiwanesas y otros grupos chinos. (ver “Postmetrópolis. Critical Studies of Cities and Regions”, Edward Soja,  2000)

BIBLIOGRAFÍA

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FRANKHAUSER, Pierre. 2000 Fractal Analisis of Urban Structures. (Francia, IRADES, Université de Besançon). 1999.

RAPPOPORT, Amos. “Aspectos Humanos de la Forma Urbana. Hacia una confrontación de las Ciencias Sociales con el diseño de la forma urbana”. Colección Arquitectura/Perspectivas, Ed. Gustavo Gilli, Barcelona, 1978

SALINGAROS, Nikos.. (Taylor and Francis Ltd). “Urban Space and Its Information Field”, en Journal of Urban Design, vol 4, pág. 29-49. (publicación on line con permiso de Taylor and Francis, http://www.math.utsa.edu/sphere/salingar/UrbanSpace.html) 1999.

SOJA, Edward W. (USA) Postmetropolis. Critical Studies of Cities and Regions. 2000 (United Kingdom: MPG Books Ltd, 2002)

SPINADEL, Vera W. de, PERERA, Jorge G., PERERA, Jorge H.. Geometría Fractal. (Buenos Aires: Nueva Librería S.R.L.) 1994

SPINADEL, Vera W. de.. Microcurso: Fractales, Caos y Diseño Urbano. ICVA. 1^er Congreso Virtual de Arquitectura, FADU, Argentina. Diciembre 1999 a Enero 2000

.- “The Fractal Approach. A new tool for the spatial analysis of urban agglomerations”, en Population: An English Selection, special issue New Methodological Approaches in the Social Science. 1997.  Pag. 205-240

Arq. Myriam B. Mahiques, Febrero 2005

Acerca de la enseñanza de la Geometría Fractal en Arquitectura (Ponencia)

JORNADAS DE INVESTIGACIÓN DE LA FAU (La Plata) 2006

Lea todas las ponencias on line de la Mesa Temática Enseñanza- Aprendizaje de la Arquitectura en:

http://163.10.28.130:8080/descargas/investigacion/resumenes_proyectos.pdf

Mesa Temática:    Enseñanza-Aprendizaje de la Arquitectura

Titulo:  Acerca de la enseñanza de la Geometría Fractal en Arquitectura

Autores:  Ing. Rosa Enrich, Arqs. Andrea Carnicero, Gustavo Fornari, Myriam Mahiques

Resumen 

 “La Geometría Fractal cambiará a fondo su visión de las cosas… Se arriesga a perder definitivamente la imagen inofensiva que tiene de nubes, bosques, galaxias, hojas, plumas, flores, rocas, montañas, tapices, y de muchas otras cosas. Jamás volverá a recuperar las interpretaciones de todos estos objetos que hasta ahora le eran familiares.", Michael Barnsley (1988) En el marco de la investigación propuesta, una de las líneas que estamos desarrollando se relaciona con el análisis de la importancia que puede tener la enseñanza de la Geometría Fractal a los alumnos de la Facultad de Arquitectura. La enseñanza de la geometría no ha incluido los avances de la disciplina producidos durante el siglo XX, con lo cual el profesional queda en desventaja a la hora de comprender los nuevos avances de la ciencia y la tecnología aplicados a su especialidad. Las imágenes asociadas a los fractales, parecen ser una vía para la aprehensión y apropiación de la complejidad, de modo de ampliar la comprensión de los procesos de morfogénesis y la cultura sistémica del diseñador. La comprensión de las nuevas geometrías, en particular la Geometría Fractal, permiten observar de otra manera la realidad existente y de ese modo parecería que tienen la capacidad de ampliar los recursos disponibles para el diseño.

Metodología utilizada:  

Se ha efectuado una búsqueda bibliográfica –fundamentalmente original- entre autores especialistas en distintas disciplinas que se refieren al tema. 

Se ha consultado a matemáticos y físicos especializados en diseño y a arquitectos que ven a la matemática como una aliada de sus producciones arquitectónicas y urbanísticas.  

Considerando que la carrera de arquitectura es multidisciplinaria, se han intercambiado opiniones con otros investigadores de esta disciplina. Dichos investigadores incluyen arqueólogos, sociólogos, historiadores, geógrafos, que aplican también conceptos de fractalidad en su campo de estudio. 

Se han realizado entrevistas a arquitectos que se dedican a la docencia y/o a la profesión, acerca de sus puntos de vista con relación al tema a los efectos de contar con opiniones más diversas. 

Principales resultados alcanzados. 

Se han encontrado opiniones contrapuestas lo que ha permitido una discusión acerca de la real significación del aporte de las nuevas geometrías al diseño arquitectónico y urbano. 

Se investiga de qué modo puede implementarse su incorporación para que no sea una mera divulgación de nuevos contenidos sino que se convierta en un proceso de construcción de nuevos conocimientos basados en las concepciones de la geometría fractal y fundada en los conocimientos previos de los alumnos.   

Estos contenidos serían soportes no sólo de materias relacionadas con la forma, sino también de materias técnicas, por ejemplo en conceptos de recorridos de infraestructura, en estructuras no convencionales, etc. 

Está en proceso la elaboración de una propuesta de implementación experimental que permita arribar a conclusiones que favorezcan el diseño de un programa para una asignatura de carácter electivo, en el ciclo superior, por cuanto es preciso que los alumnos hayan aprobado matemática y física antes de abordar la enseñanza de esta parte de la Geometría. También es necesario que ya tengan conocimientos de estructuras y materialidad, a fin de comprender la aplicabilidad no sólo en teoría, sino también en la práctica profesional.

Propuesta de Enseñanza de Geometría Fractal en Diseño Arquitectónico (borrador, texto personal)

El texto a continuación lo he escrito como borrador (draft) para ser adaptado a la ponencia en las Jornadas de investigación de la FAU (Facultad de Arquitectura y Urbanismo de La Plata) en 2006.

La presentación se terminó de escribir con los coautores Ing. Rosa Enrich y los Arqs. Andrea Carnicero y Gustavo Fornari, quienes expusieron  sobre ¨Acerca de la enseñanza de la Geometría Fractal en Arquitectura¨

El programa de las Jornadas se encuentra en el siguiente link:

 http://163.10.28.130:8080/descargas/investigacion/conclusiones_proyectos_aliata.pdf

El texto final se puede leer en el siguiente link y será posteado -además- por separado:

http://163.10.28.130:8080/descargas/investigacion/resumenes_proyectos.pdf

LA MATEMÁTICA EN LA HISTORIA DE LA PROYECTUALIDAD

El antecedente histórico del proyecto es la composición, comenzando con los griegos y romanos, siguiendo en el Renacimiento y hasta principios de la modernidad en el Siglo XX. La composición se regía por tratados y manuales que dictaban las normas de organización estéticas y constructivas de la arquitectura. Una organización a modo de unión de partes interdependientes, que tomaba al hombre ideal como base de sus proporciones, sin tener en cuenta los aspectos emocionales, sociales.

Obsoleto este sistema compositivo, el proyecto surge como mediador entre la sociedad y la obra construída.

En los últimos años se ha demostrado que la arquitectura de diferentes estilos, de diversas regiones y períodos, obedecen a reglas que son intrínsicamente matemáticas, y, cualquiera sea su forma, contienen cualidades e información sobre dichas reglas, las que definimos como modelo o pattern. Los modelos más simples, son repeticiones de unidades ordenadas según una traslación linear, o simetría rotacional. Pero, también en dimensiones escalares donde la forma se da en sucesivas magnificaciones de unidades formales: autosimilitud. En términos geométricos, se ha creado un fractal autosimilar.

El concepto de pattern se extiende al espacio, cuando se da soluciones a problemas, que se repiten con alguna variación cada vez que el problema se resuelve. No es nuestra intención aquí una discusión sobre estilos, sino de percepciones de un cierto orden de estructuras lógicas que la mente percibe a través de conexiones e interrelaciones entre conceptos e ideas.

Los patterns se han dado en la arquitectura histórica y exponen la creatividad innata que los seres humanos tienen en la aplicación de la matemática. A tal punto que en muchos períodos del pasado, matemática y arquitectura eran indistinguibles; ambas se reforzaban y complementaban. Como en las pirámides, los templos , los ziggurats. ...

Y he aquí más ejemplos de la historia:

Los templos de India y el Sudeste asiático exhiben una estructura fractal: una torre rodeada de pequeñas torres, rodeadas a su vez por torres más pequeñas, y así, por ocho o más niveles que rondan la metafísica; (1)

La intrincada decoración gótica, renacentista y barroca, especialmente expresada en las catedrales, frecuentemente exhiben escalados en muchos niveles (como las ventanas de arcos) que probablemente representen jerarquías teológicas;

El historiador de arte George Hersey, de la Universidad de Yale, también señala que si bien el plano de Bramante de 1506 para la nueva basílica de San Pedro muestra una cruz griega con posiciones simétricas de cúpulas secundarias, los brazos de “cruces” pequeñas en las esquinas interiores consisten en miniaturas de la original, hasta llegar a una analogía de fractal;

La torre Eiffel incorpora la idea de una curva fractal;

El Dr. Ron Eglash ha demostrado que asentamientos tradicionales africanos, tienen una  estructura fractal (estructura de árbol, cerramientos rectangulares recursivos, círculos formados por círculos de viviendas, etc.). Estudios posteriores verificaron que esta arquitectura fractal resultaba de diseños intencionales, y que estas características podían ser encontradas en otras áreas culturales africanas (arte, religión, ingeniería, juegos), algunas como motivos matemáticos como sucesiones y otras como sistemas simbólicos como espirales y referencias al infinito;

Recientemente, se han calculado dimensiones fractales para obras de Frank Lloyd Wright usando el método de grillas rectangulares y se concluyó que algunos de sus edificios muestran autosimilitud en un gran rango de escalas, lo que sugiere que cumplen con características fractales;

Y ya en los últimos años, los arquitectos que se oponen a la arquitectura minimalista (International Style) han introducido curvaturas y subdivisiones en sus proyectos de formas caóticas que intentan incluir más información matemática, pero, más bien determinan una forma de fractal  estocástico que no se originó en la repetición de un pattern sino de procesos aleatorios. (2)

ANTECEDENTES EN LA ENSEÑANZA DE GEOMETRÍA FRACTAL

En 1982, y gracias al brillante aporte de Benoit Mandelbrot, los cursos sobre geometría fractal comenzaron a darse en los EEUU en asignaturas como matemática y ciencia (especialmente informática) y en niveles de college. La reacción de los alumnos fue altamente positiva, y pronto más cursos surgieron en aquellas disciplinas relacionadas con dinámicas caóticas, como humanidades y ciencias sociales,  hasta llegar a la high school (escuela secundaria). (3)

La popularidad de los cursos fue acreditada a la “extraña” belleza de los fractales que se visualizaban en las computadoras y al hecho que no entraban en el formato standard de las clases de matemática.

Para mediados de los ’80, los fractales logrados producían exclamaciones de sorpresa; ahora son parte de la cultura popular y de la alta cultura de los claustros universitarios. Similarmente, en la metodología aplicada, el uso de la computadora se restringía a los cursos de geometría fractal, y en la actualidad cualquier asignatura considera el uso de las computadoras.

Nuestro currículum actual se basa en el cálculo y sus pre-requisitos: trigonometría, álgebra y geometría. No se ha incluido aún asignaturas sobre caos y geometría fractal, que serán de gran interés en los estudiantes.

Nuestra propuesta surge de la reflexión, de la búsqueda de un modelo de enseñanza actual creativo, basado en la investigación para una nueva agenda.

No cabe duda que la disciplina comprende diversos niveles de abstracción en pos del trabajo proyectual, para la resolución de problemas urbanos y arquitectónicos.

Podemos fragmentar estos niveles en Teoría (Theoria), Práctica (Praxis) y Producción (Poiesis). (4)

La teoría es el mayor grado de abstracción, con connotaciones empíricas donde la experiencia es una adquisición insustituíble. La dimensión teórica enmarca la concepción y el sentido del objeto arquitectónico; la práctica permite su desarrollo y la producción su construcción.

Los problemas de proyectualidad, no pueden entonces resolverse solamente mediante el análisis lógico; la implementación de la geometría fractal en las asignaturas de Diseño y Matemática, ayudarán a mejorar la creatividad del diseñador, y no consideramos únicamente la posibilidad de lograr una multiplicidad de formas, sino también la comprensión y desarrollo de estructuras orgánicas complejas que luego se verían reflejadas en asignaturas humanísticas como Historia y técnicas como Estructuras, Sistemas constructivos, e Instalaciones.

LA ASISTENCIA DEL PENSAMIENTO LATERAL

Considerando que no todos los alumnos proyectan desde la inducción, la inclusión de la geometría fractal en Diseño será complementada por la teoría del pensamiento lateral, que propone un camino distinto en la búsqueda de la creatividad y suele ser implementada en ejercicios, esquicios.

Los puntos principales del pensamiento lateral son:

1.- Nuestro cerebro, que es un sistema que se auto-organiza, no está preparado para la creatividad, sino que fija esquemas de rutinas y se atiene a ellas.

2.- Si aparecen elementos nuevos –formas nuevas en nuestra disciplina-, la mente intentará relacionarse con ellos siguiendo las pautas –patterns- del esquema establecido.

3.- El objetivo del esquema es encontrar datos similares a los cuales asimilar la nueva información.

4.- Existen mecanismos alternativos que llevan a la creatividad del pensamiento y  producen rupturas en los esquemas pre-establecidos. Son los caminos “laterales”, es decir novedosos.

APLICACIÓN EN DISTINTAS TEMÁTICAS DE LA ARQUITECTURA

Y no por hacer énfasis en Diseño, hemos de olvidar que no todos los alumnos tienen el mismo perfil y además lo van moldeando a medida que avanza la carrera. El arquitecto y psicólogo social Alvaro San Sebastián distingue cinco perfiles dentro de la carrera arquitectura:

1.- El especialista en proyecto. Es la condición innata de nuestra profesión. Es el eje central de la formación.

2.- El proyectista de lo constructivo, aquél que domina la tecnología y diseña todas las alternativas para el proceso de materialización de una obra.

3.- El alumno o profesional relacionado con el mundo de la informática, un campo altamente demandado por los alumnos.

4.- El empresario, el gestor de negocios, aquél que será capaz de generar nuevas formas de llevar adelante un proceso productivo.

5.- El intelectual, el teórico, el crítico, que desarrolla tareas de investigación y desde dentro de la disciplina aporta al crecimiento de los conocimientos.

Nuestra propuesta de enriquecimiento posee un enfoque post-modernista,  que destaca la apicabilidad de la geometría fractal en todas las disciplinas, por lo tanto, cualquiera sea la inclinación temática de nuestros estudiantes, siempre contarán con esta valiosa herramienta. 

IMPLEMENTACION

Proponemos la implementación de la enseñanza de fractalidad en grados avanzados de la carrera, a fines de que el alumno incluya sus conocimientos adquiridos en materias técnicas y se eviten proyectos meramente formales. Teniendo en cuenta que las cátedras de Diseño arquitectónico tienen distintas posturas ideológicas – y por lo tanto formales- se cree conveniente la creación de una materia electiva que obviamente será tomada por aquellos alumnos que sientan la inquietud de explorar nuevos horizontes proyectuales.

Los items a continuación, expresan nuestras intenciones de acercamiento entre la técnica proyectual y el alumno.

·        MOTIVACION: promover el interés del alumno por lo que se está haciendo,desde distintos planos. Ver la posibilidad de abordar las clases en layers, alguno de ellos expandible.

Las clases de diseño, resultan interesantes cuando se estructuran en una secuencia progresiva, no lineal, por procesos de descentración múltiple.

·        EJERCITACION: sugerimos la exploración de rutas alternativas, -incluso con la posibilidad de llevar adelante un proyecto que nació insólito-, utilizando combinaciones interdisciplinares, por ejemplo: matemática y diseño, música-pintura-diseño. El docente utilizará el lenguaje adecuado para lograr la comprensión del tema a desarrollar en clase, ya sea mediante metáforas, presentando casos, modelaciones espaciales, etc.(4) De este modo el estudiante obtiene una ruta secundaria para la resolución de un problema. En este punto, cabe aclarar que el docente verificará que el estudiante realice la traducción correspondiente del modelo a la disciplina.

En general, la ejercitación del diseño se basa en estos procesos de abstracción que consisten en representar los aspectos comunes entre dos o más objetos o eventos, por símbolos, letras, diagramas, construcciones geométricas, etc.

Luego de seleccionar el tipo de representación, esta simbología puede combinarse y recombinarse de varias maneras, siguiendo reglas determinadas. La resultante, a veces es una idea pre-establecida, otras, el producto de manipulaciones de prueba y error.

·        APLICACIÓN DE TECNOLOGIAS: se destaca la importancia del uso de la tecnología como apoyo y enriquecimiento de la asignatura, para la comunicación, la información, la producción y la modelización.

Es importante que el docente acompañe en el uso de la tecnología, y si logra una atención voluntaria y consciente del alumno, se da un efecto de residuo cognitivo que enriquece el aprendizaje.

Los softwares propuestos son los que usan habitualmente los estudiantes y arquitectos en su práctica profesional, como AutoCad y Adobe photoshop, que serían complementados por softwares de creación de fractales y simulación como Fractal Explorer, Lsystems, Cellular Autómata, etc. De no poder ser adquiridos por la Universidad, se espera que en el lapso que dure la materia electiva, el alumno pueda bajar los programas en forma gratuita de la red, a prueba por un mes aproximadamente.

·        CONCEPTUALIZACIÓN: Cuando el docente trabaje haciendo referencias a otros campos disciplinares, deberá, en su accionar, no complejizar demasiado la conceptualización, para que los alumnos puedan hacer las reconstrucciones correspondientes.

REFLEXIONES FINALES

Muchos profesores han escrito sobre el éxito en la integración de geometría fractal en el currículo y describen su experiencia en las clases. No sólo contamos con los libros de Mandelbrot, quien sigue activo en la docencia e investigación, sino que hay una variedad de textos publicados en la web. (3)

“Of the mathematical topics that can be taught in schools, fractals are the only concept that was developed by someone who is still alive. Moreover, fractals have the romance of being beautiful and involving two forms of drama: the drama that is provided by recent resistance to their acceptance and the drama that comes with the fact that near-beginning students can actually understand what great living mathematicians try -- and sometimes still fail -- to prove.

Two major factors are in favor of fractals. One results from their effectiveness in the sciences. Some bring to mind real things like mountains and clouds or stock market charts. Others are extravagant and totally new, but unconsciously bring to mind all kinds of decorative patterns that humanity has known since time immemorial. The second factor is that gratification comes quickly. The path from silly formulas to impossibly difficult problems is much shorter than is usual in mathematics.” (Entrevista a Benoit Mandelbrot, por Jacqueline Weaver, 2003)

Nos atrevemos a pre-concluir que la belleza de los gráficos y su relación con la arquitectura y diseño urbano, estimulará la curiosidad de los estudiantes y motivarán experimentaciones –prácticas y teóricas-.

Sin embargo, la espectacularidad visual puede ser una tentación al juego morfológico que proponen algunas cátedras de grado y posgrado de alto contenido teórico que jamás incluyen a los usuarios, hipotéticos o reales.

 Por lo tanto, en un intento de revertir esta situación, y sin dejar de lado el campo teórico, se hará énfasis en los aspectos humanos de la ciencia; nuestro objetivo no es que el alumno trabaje desde la subjetividad creadora, indistintamente con las formas del objeto arquitectónico y urbanas, sino que tome consciencia que la geometría fractal es una herramienta para entender los procesos cognitivos que las comunidades aplican o desean intuitivamente en sus asentamientos y edificios, recordando incluso que las comunidades primitivas  han tomado ventaja de los aspectos no lineales de los sistemas dinámicos ecológicos.

Cualquiera sea el perfil que el alumno desarrolle, la geometría fractal será un lenguaje común para las disciplina que éste elija.

Todas estas consideraciones necesitan de un espíritu de equipo para ser llevadas a cabo. Y nos referimos no sólo a los miembros de un grupo sino también a los pertenecientes a otros, con los que se pueda intercambiar ideas y experiencias. Contamos con la cooperación de otras cátedras que, esperamos se abrirán positivamente al cultivo del pensamiento superior, las nuevas tecnologías y modelos de enseñanza. (6)

“Tomaremos distancia” y reflexionaremos acerca de cómo funciona el nuevo modelo de enseñanza y cómo puede ser documentado y compartido con otros.

Este procedimiento es legítimo en cuanto incentiva la investigación generando conocimientos nuevos y aprendiendo a resolver problemas, y su verificación se daría en la posterior comunicación entre la obra y el comitente.

REFERENCIAS

1.      Citemos a William Jackson en “Other shore fractals: Hindu trascendence symbols and the modelling of wholeness” (Yale courses).: “The ideal form gracefully artificed suggests the infinite levels of existence and consciousness, expanding sizes rising toward transcendence above, and at the same time housing the sacred deep within”. La proliferación de las torres representan varios aspectos del panteón hindú.

Ver también “Heaven’s Fractal Net”, escrito por el mismo autor, donde trata del reconocimiento de estructuras fractales en la naturaleza, organizaciones sociales, simbolismos rituales, en arquitectura de Europa y América. ISBN: 0253216206

2.      Se ha relacionado a la arquitectura moderna con la matemática newtoniana (ej. Le Corbusier y el uso del número de oro) y, actualmente Charles Jencks en su libro “El Nuevo Paradigma en Arquitectura”,  destaca el carácter fractal de algunos edificios de Frank Gehry, Peter Eisenman, Zaha Hadid, Daniel Libeskind, que, según Salingaros no se apoyan en la ciencia sino en la filosofía de los deconstructivistas franceses; no responden a autosimilitud en cada nivel de magnificación y obviamente no son originados por procesos complejos de auto-organización. Ver “Charles Jencks y el nuevo paradigma en arquitectura”. Versión en español para Ambiente, Revista 97.2006. También on line

http://www.math.utsa.edu/sphere/salingar/contr.arch.html

3. En su libro “Fractals, Graphics, and Mathematics Education”, B. B. Mandelbrot y M. L. Frame dan una lista de escuelas, colleges y universidades donde se ha implementado la geometría fractal en el currículo. Entre ellos: Boston Technical High School (MA), Broward County middle and high schools (FL), the Hotchkiss School (CT), Lehigh University (PA), New Trier High School (IL), Nickel District Secondary School and various York Region Schools (Ontario, CAN), St. Joseph's University (PA), Union College (NY), the University of California at Riverside, the University of Rochester (NY), the University of Scranton (PA), y Yale University (CT).

Los estudios en The Urban School of San Francisco incluyen varios cursos de matemática y otro electivo llamado Infinity, que trata de geometría fractal y teoría del caos.  Ver en detalle:

http://www.urbanschool.org/about/academics/mathematics/

Para ilustrar algunos cursos de Mandelbrot y Frame, ver también

http://classes.yale.edu/Fractals/Panorama/Architecture

4.      Para temas de teoría proyectual, ver Jorge Sarquís, “Investigación Proyectual: Historia de las teorías, los procedimientos y las técnicas.- Theorias, praxis y poiesis, Revista Area No 8, SYCIT, FADU, diciembre 2000.

5.      Los profesores Thomas Fischer y Christiane Herr (Hong Kong University) advierten que las analogías pueden crear confusión en los estudiantes y oscurecer los conceptos en los cuales están basadas. Como ejemplo, citan una hoja de helecho, realizada con L Systems a modo de tipología de diseño generativo. La resultante es una imagen fractal donde subyacen algoritmos y parámetros, pero también sirve para estudiar la morfología de un proyecto urbano. Una vez establecido que los fenómenos de la naturaleza pueden ser deducidos por medio de técnicas generativas, vemos que la matemática no puede dar afirmaciones terminantes sobre  la naturaleza, pero sí puede generar diseños naturalísticos emparentados con morfología urbana. Este ejemplo también nos demuestra la posibilidad de trabajar interdisciplinariamente, siguiendo las combinaciones de pares de inteligencias a la manera de Howard Gardner.

6.      Se invita a leer el artículo “Hostelry in San Pedro”, del estudiante Víctor Papadia para el Journal of Mathematics and Design.Vol 3, No 1. 2003

El trabajo de Víctor para Arquitectura 4, ciclo lectivo 2002, fue corregido en  su cátedra de Diseño y, en cuestiones de fractalidad,  monitoreado por la directora del Centro M&D, dra Vera de Spinadel, conjuntamente con la autora de este texto, que en ese entonces se desempeñaba como Jefa de trabajos prácticos en otra cátedra de Diseño, de postura distinta a la del alumno. El seguimiento expresa un trabajo multidisciplinario que dió muy buenos resultados.

BIBLIOGRAFIA

Ashline George. Revisión del libro “Fractals, Graphics, and Mathematics Education”. De B. B. Mandelbrot y M. L. Frame.

http://www.maa.org/reviews/fractalsmathed.html

Casakin, H. “El Uso de Representaciones Visuales en los Problemas de Diseño”, Revista Area No 8, SYCIT, FADU, diciembre 2000.

T. Fischer, Christiane Herr, “Teaching Generative Design”

http://www.generativeart.com/ga2001_PDF/fischer.pdf

Machado, Nilson J. “Epistemología e Didática”, Cortez Editora, Sao Paulo, Brasil, 1995.

Mandelbrot, Benoit B. y Frame, Michael. Chapter 1. Some Reasons for the Effectiveness of Fractals in Mathematics Education. (on line)

Ostwald Michael J. “Fractal Architecture: Late Twentieth Century Connections Between Architecture and Fractal Geometry”. In Nexus Journal, Vol 3, No 1, 2001

http://www.nexusjournal.com/Ostwald-Fractal.html

San Sebastián, Alvaro. “La Formación de los Arquitectos”, Area de Formación, Centro Poiesis, Serie Difusión 8, SICYT, FADU, Buenos Aires, 1994

Spinadel, Vera Winitzky de. Anales de Trabajos Presentados en el 1º Congreso Internacional de Matemática y Diseño, 23 al 27 de Octubre de 1995, FADU, UBA.

Vedoya, Daniel E. “Innovaciones en la Enseñanza de la Tecnología”, XIII reunión de ATYDA, FADU, mayo 2002

Salingaros, Nikos A. Architecture, Patterns and Mathematics. In Nexus Network Journal. Vol 1. No 2. 1999

http://www.nexusjournal.com/Salingaros.html

Weaver, Jackeline. Entrevista a B. Mandelbrot. Para Yale Bulletin And Calendar. February 28the, 2003. Vol 31, No 20

http://www.yale.edu/opa/v31.n20/story6.html